Почему нельзя делить на ноль?

Даже если прошли десятилетия с тех пор, как вы вспоминали как делали домашнее задание по математике, вы определенно помните правило: на ноль делить нельзя.

Вы когда-нибудь задумывались, почему это так? В конце концов, если я делю пиццу на ничто, я все равно получаю пиццу. Оказывается, когда вы делите число на ноль, вы получаете ответ — это просто не очень полезный ответ.

Идем против правил

Чтобы подумать о том, что вы можете получить, если разделите, скажем, 10 на ноль, давайте начнем с деления 10 на 5. Ответ — 2. Что, если разделить 10 на меньшее число, например на 2? Вы получите большее число: 5.

Как насчет 10, разделенных на 1? Еще большее число: 10. 10 делится на ½ — это 20, делится на ¼ — это 40, делится на 1/32-это 740. Каждый раз, когда вы делите на меньшее число, вы получаете большее число взамен. То есть, чем ближе ваш делитель к 0, тем ближе ваш ответ к бесконечности. Так что если бы вы на самом деле разделили 10 на 0, вы бы получили бесконечность, верно?

Не совсем. Почему? Посмотрим, чем это закончится.

10 ÷ 0 = ∞

Если приведенное выше утверждение истинно, то это утверждение также должно быть истинным:

10 = ∞ x 0

Но мы знаем, что все, умноженное на ноль, равно нулю, что означает 10 = 0. Это неверно в математике, которую мы знаем, поэтому должно быть что — то не так с уравнением, с которого мы начали, 10 деленное на ноль, не должно быть бесконечностью.

Но есть еще одна проблема. Помните, как чем меньше число вы делите, тем больше ответ вы получаете? А что, если вместо деления 10 на 5 вы разделите 10 на -5? Тогда вы получите -2. Деление 10 на -2 дает вам -5, а деление 10 на -1 дает вам -10.

Деление на отрицательные числа, которые стремятся к нулю, дает вам отрицательные числа, которые стремятся к отрицательной бесконечности. Поэтому, если вы действительно хотите сказать, что 10, разделенное на 0, бесконечно (что мы уже показали), вы должны сказать, что это также отрицательная бесконечность. Уравнение, равное как отрицательной, так и положительной бесконечности, никому не нужно.

Это означает, что ответ на число, деленное на ноль «не определен». Ему просто не придают значения.

«Что такое 10, деленное на ноль?». Вопрос не имеет смысла, поэтому ответ не содержит никакой реальной информации.

Как разделить на «ноль»

Но подождите — оказывается, есть способ деления на ноль; для этого вам просто нужно попасть в некоторые комплексные числа.

Представьте себе, двумерную плоскость, которая уходит в бесконечность во всех направлениях с нулевым значением посередине. Теперь представьте, что вы изогнули эту плоскость в сферу, с нулем в качестве Южного полюса и краями, Соединенными вверху, где должен быть Северный полюс. Неважно, что это невозможно — мы просто сделали это, и теперь наша бесконечность — Северный полюс. Та да! Математика!

Теперь возьмите другую бесконечную двумерную плоскость и прорежьте ее через свою сферу на экваторе. Любая точка, которую вы выберете на этой плоскости, может соединяться с Северным полюсом сферы по прямой. Если выбранная вами точка находится вне сферы, соединительная линия пересекает сферу в Северном полушарии; если она находится внутри сферы, она пересекается в Южном полушарии.

То, что вы вообразили, является сферой Римана, и этот способ связывания каждой точки на плоскости с точкой пересечения на сфере называется стереографической проекцией. В принципе, любую точку, которую вы можете найти на плоскости, вы можете найти на сфере. Это включает в себя бесконечность. Чем ближе вы к бесконечности на плоскости, тем ближе вы к Северному полюсу сферы.